# Zadanie 22, matura podstawowa maj 2026

- Arkusz: [Matura podstawowa maj 2026](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2026/maj)
- Dział: Planimetria
- Rodzaj: otwarte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2026/maj/zadanie-22

## Treść

W okrąg $\mathcal{O}$ o promieniu $9\sqrt{3}$ wpisano trójkąt równoboczny $\mathcal{T}$.

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.
Bok trójkąta $\mathcal{T}$ ma długość ___.

## Odpowiedź

$27$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Środek okręgu opisanego na trójkącie równobocznym leży w punkcie przecięcia wysokości i dzieli każdą z nich w stosunku $2:1$ licząc od wierzchołka. Promień to więc $\dfrac{2}{3}$ wysokości $h$.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2026/maj/zadanie-22)*

2. Wstawiamy $R=9\sqrt3$ i wyznaczamy $h$.

   $$\begin{aligned} &R = \dfrac{2}{3}h \\[8pt] &9\sqrt3 = \dfrac{2}{3}h \;\;/\cdot\dfrac{3}{2} \\[8pt] &h = \dfrac{3}{2}\cdot9\sqrt3 = \dfrac{27\sqrt3}{2} \end{aligned}$$

3. Bok $a$ wyznaczamy ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego.

   $$\begin{aligned} &h = \dfrac{a\sqrt3}{2} \\[8pt] &\dfrac{a\sqrt3}{2} = \dfrac{27\sqrt3}{2} \\[8pt] &a = 27 \end{aligned}$$