# Zadanie 18, matura podstawowa maj 2026

- Arkusz: [Matura podstawowa maj 2026](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2026/maj)
- Dział: Trygonometria
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2026/maj/zadanie-18

## Treść

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym bok $AC$ jest przeciwprostokątną oraz $|BC|=2$ i $|AC|=2\sqrt{10}$. Oznaczmy kąt $BCA$ przez $\gamma$ (zobacz rysunek).

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2026/maj/zadanie-18)*

Sinus kąta $\gamma$ jest równy

A. $\dfrac{1}{\sqrt{10}} \qquad\qquad$ B. $\dfrac{1}{3} \qquad\qquad$ C. $\dfrac{3}{\sqrt{10}} \qquad\qquad$ D. $\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{11}}$

## Odpowiedź

C. $\dfrac{3}{\sqrt{10}}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Brakującą przyprostokątną $AB$ liczymy z twierdzenia Pitagorasa.

   $$\begin{aligned} |AB|^2 &= |AC|^2-|BC|^2 \\[8pt] |AB|^2 &= (2\sqrt{10})^2-2^2 \\[8pt] |AB|^2 &= 40-4=36 \\[8pt] |AB|&=6 \end{aligned}$$

2. Sinus kąta $\gamma$ to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej.

   $$\sin\gamma = \dfrac{|AB|}{|AC|} = \dfrac{6}{2\sqrt{10}} = \dfrac{3}{\sqrt{10}}$$