# Zadanie 17, matura podstawowa maj 2026

- Arkusz: [Matura podstawowa maj 2026](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2026/maj)
- Dział: Ciągi
- Rodzaj: otwarte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2026/maj/zadanie-17

## Treść

Ciąg geometryczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$.
Wyrazy trzeci i szósty tego ciągu spełniają warunek $a_3\cdot a_6=18$.

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.
Iloczyn $a_2\cdot a_7$ jest równy ___.

## Odpowiedź

$18$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Zapisujemy $a_3$ i $a_6$ przy użyciu $a_1$ i $q$. Mnożymy potęgi o tej samej podstawie, więc dodajemy wykładniki.

   $$\begin{aligned}&a_n = a_1q^{n-1} \\[8pt] &a_3\cdot a_6 = a_1q^2\cdot a_1q^5 \\[8pt] &a_3\cdot a_6=a_1^2q^7\end{aligned}$$

2. Tak samo zapisujemy iloczyn $a_2\cdot a_7$.

   $$\begin{aligned}&a_2\cdot a_7 = a_1q\cdot a_1q^6 \\[8pt] &a_2\cdot a_7 = a_1^2q^7\end{aligned}$$

3. Oba iloczyny są równe $a_1^2q^7$, a $a_3\cdot a_6$ znamy z treści zadania.

   $$a_2\cdot a_7 = a_3\cdot a_6 = 18$$