# Zadanie 5, matura podstawowa maj 2026

- Arkusz: [Matura podstawowa maj 2026](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2026/maj)
- Dział: Potęgi i pierwiastki
- Rodzaj: prawda/fałsz, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2026/maj/zadanie-05

## Treść

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
<table style="width: 100%; border-collapse: collapse; font-size: 15px; font-family: sans-serif;">
  <tbody>
    <tr style="border-bottom: 1.5px solid #000;">
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">Liczba naturalna $4^{12} \cdot 5^{24}$ jest podzielna przez $20$.</td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>P</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>F</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">Liczba naturalna $4^{12} \cdot 5^{24}$ jest w zapisie dziesiętnym liczbą $25$-cyfrową.</td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>P</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>F</b></td>
    </tr>
  </tbody>
</table>

## Odpowiedź

PP

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Zapisujemy $4$ jako $2^2$. Potęgę potęgi zamieniamy na jedną potęgę, mnożąc wykładniki, a iloczyn potęg o tym samym wykładniku na potęgę iloczynu.

   $$4^{12}\cdot 5^{24} = (2^2)^{12}\cdot 5^{24} = 2^{24}\cdot 5^{24} = (2\cdot5)^{24} = 10^{24}$$

2. Rozkładamy $20$ na czynniki pierwsze i dzielimy przez nie $10^{24}=2^{24}\cdot5^{24}$. Iloraz jest liczbą naturalną, więc liczba jest podzielna przez $20$ (P).

   $$\begin{aligned} &20 = 2^2\cdot5 \\[8pt] &\dfrac{2^{24} \cdot5^{24}}{2^{2} \cdot 5^{1}} = 2^{22} \cdot 5^{23} \end{aligned}$$

3. Liczba $10^{24}$ w zapisie dziesiętnym to cyfra $1$ i $24$ zera, więc ma $25$ cyfr (P).