# Zadanie 27, matura podstawowa maj 2026 (F. 2015)

- Arkusz: [Matura podstawowa maj 2026 (F. 2015)](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2026/maj-formula-2015)
- Dział: Dowody algebraiczne
- Rodzaj: otwarte, 2 pkt, trudność 3/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2026/maj-formula-2015/zadanie-27

## Treść

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $a$ i dla każdej liczby rzeczywistej $b$ prawdziwa jest nierówność

$a(a-b) \geq b(a-3b)$

## Odpowiedź

Nierówność $a(a-b) \geq b(a-3b)$ jest równoważna nierówności $(a-b)^2+2b^2 \geq 0$, która jest prawdziwa jako suma dwóch liczb nieujemnych.

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Przekształcamy nierówność w sposób równoważny. Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę i wymnażamy nawiasy.

   $$\begin{aligned}&a(a-b) \geq b(a-3b) \\[8pt] &a^2-ab \geq ab-3b^2 \\[8pt] &a^2-2ab+3b^2 \geq 0\end{aligned}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium