# Zadanie 15, matura podstawowa maj 2026 (F. 2015)

- Arkusz: [Matura podstawowa maj 2026 (F. 2015)](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2026/maj-formula-2015)
- Dział: Ciągi
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2026/maj-formula-2015/zadanie-15

## Treść

Ciąg geometryczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$.
Wyrazy trzeci i szósty tego ciągu spełniają warunek $a_3 \cdot a_6 = 18$.

Iloczyn $a_2 \cdot a_7$ jest równy

A. $9 \qquad\qquad$ B. $14 \qquad\qquad$ C. $18 \qquad\qquad$ D. $36$

## Odpowiedź

C. $18$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Zapisujemy wyrazy $a_3$, $a_6$, $a_2$ i $a_7$ za pomocą pierwszego wyrazu $a_1$ i ilorazu $q$.

   $$\begin{aligned}&a_3 = a_1 q^2 \\[8pt] &a_6 = a_1 q^5 \\[8pt] &a_2 = a_1 q \\[8pt] &a_7 = a_1 q^6\end{aligned}$$

2. Mnożymy $a_3$ przez $a_6$ oraz $a_2$ przez $a_7$ — w obu iloczynach suma wykładników przy $q$ jest taka sama (bo $3+6=2+7=9$), więc oba iloczyny są sobie równe.

   $$\begin{aligned}&a_3 \cdot a_6 = a_1^2 q^{7} \\[8pt] &a_2 \cdot a_7 = a_1^2 q^{7}\end{aligned}$$

3. Skoro oba iloczyny to to samo wyrażenie, to $a_2 \cdot a_7$ jest równe $a_3 \cdot a_6$.

   $$a_2 \cdot a_7 = a_3 \cdot a_6 = 18$$