# Zadanie 24, matura podstawowa czerwiec 2026

- Arkusz: [Matura podstawowa czerwiec 2026](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2026/czerwiec)
- Dział: Geometria analityczna
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2026/czerwiec/zadanie-24

## Treść

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ odcinek o końcach $A = (1, 1)$ oraz $B = (3, -1)$ jest średnicą okręgu $\mathcal{O}$.

Okrąg $\mathcal{O}$ jest określony równaniem

A. $(x-1)^2+(y-1)^2=8 \qquad\qquad$ B. $x^2+(y-2)^2=2 \qquad\qquad$ C. $(x-2)^2+y^2=2 \qquad\qquad$ D. $(x-2)^2+y^2=8$

## Odpowiedź

C. $(x-2)^2+y^2=2$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Środek okręgu to środek odcinka $AB$:

   $$S = \left(\dfrac{1+3}{2}, \dfrac{1+(-1)}{2}\right) = (2, 0)$$

2. Promień to połowa długości średnicy $AB$:

   $$|AB| = \sqrt{(3-1)^2+(-1-1)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \implies r = \sqrt{2}$$

3. Wstawiamy środek $(2,0)$ i promień $\sqrt{2}$ do równania okręgu:

   $$\begin{aligned}&(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \\[8pt] &(x-2)^2+(y-0)^2=\left(\sqrt{2}\right)^2 \\[8pt] &(x-2)^2+y^2=2\end{aligned}$$