# Zadanie 5, matura podstawowa czerwiec 2026

- Arkusz: [Matura podstawowa czerwiec 2026](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2026/czerwiec)
- Dział: Dowody podzielności
- Rodzaj: otwarte, 2 pkt, trudność 3/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2026/czerwiec/zadanie-05

## Treść

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $n \ge 0$ liczba $7^n + 7^{n+1} + 7^{n+2}$ jest podzielna przez $19$.

## Odpowiedź

$7^n+7^{n+1}+7^{n+2} = 19\cdot3\cdot7^n$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Iloczyn potęg o tej samej podstawie to potęga z sumą wykładników, więc:
$7^{n+1}=7^n\cdot7$
$7^{n+2}=7^n\cdot7^2$
Dzięki temu w każdym składniku pojawia się $7^n$.

   $$7^n+7^{n+1}+7^{n+2} = 7^n+7^n\cdot7+7^n\cdot7^2$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium