# Zadanie 25, matura podstawowa sierpień 2025

- Arkusz: [Matura podstawowa sierpień 2025](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/sierpien)
- Dział: Geometria analityczna
- Rodzaj: prawda/fałsz, 1 pkt, trudność 1/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/sierpien/zadanie-25

## Treść

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dany jest okrąg $\mathcal{O}$ o równaniu

$\mathcal{O}\colon (x-1)^2+(y+3)^2=4$

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
<table style="width: 100%; border-collapse: collapse; font-size: 15px; font-family: sans-serif;">
  <tbody>
    <tr style="border-bottom: 1.5px solid #000;">
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">Okrąg $\mathcal{O}$ nie ma punktów wspólnych z osią $Ox$ układu współrzędnych.</td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>P</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>F</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">Okrąg $\mathcal{O}$ ma z osią $Oy$ układu współrzędnych dokładnie dwa punkty wspólne.</td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>P</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>F</b></td>
    </tr>
  </tbody>
</table>

## Odpowiedź

PP

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Odczytujemy z równania okręgu środek i promień.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/sierpien/zadanie-25)*

   $$\begin{aligned}&(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \\[8pt] &S=(1,-3), \qquad r=\sqrt{4}=2\end{aligned}$$

2. Z rysunku odczytujemy, że najwyższy punkt okręgu to $(1,-1)$, więc cały okrąg leży poniżej osi $Ox$. Okrąg nie ma punktów wspólnych z osią $Ox$, pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe.

3. Z rysunku odczytujemy, że okrąg przecina oś $Oy$ w dwóch punktach (zaznaczonych na zielono). Drugie stwierdzenie jest prawdziwe.