# Zadanie 19, matura podstawowa sierpień 2025

- Arkusz: [Matura podstawowa sierpień 2025](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/sierpien)
- Dział: Trygonometria
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 1/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/sierpien/zadanie-19

## Treść

Kąt $\alpha$ jest ostry oraz $\cos \alpha = \dfrac{5}{13}$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta $\alpha$ jest równy

A. $\dfrac{5}{12} \qquad\qquad$ B. $\dfrac{12}{13} \qquad\qquad$ C. $\dfrac{13}{12} \qquad\qquad$ D. $\dfrac{12}{5}$

## Odpowiedź

D. $\dfrac{12}{5}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Sinus kąta $\alpha$ liczymy z jedynki trygonometrycznej.

   $$\begin{aligned}&\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \\[8pt] &\sin^2\alpha = 1 - \left(\dfrac{5}{13}\right)^2 = 1 - \dfrac{25}{169} = \dfrac{144}{169}\end{aligned}$$

2. Kąt $\alpha$ jest ostry, więc $\sin\alpha$ jest dodatni.

   $$\sin\alpha = \sqrt{\dfrac{144}{169}} = \dfrac{12}{13}$$

3. Liczymy tangens jako iloraz sinusa i cosinusa.

   $$\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} = \dfrac{12}{\bcancel{13}}\cdot\dfrac{\bcancel{13}}{5} = \dfrac{12}{5}$$