# Zadanie 18, matura podstawowa sierpień 2025

- Arkusz: [Matura podstawowa sierpień 2025](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/sierpien)
- Dział: Ciągi
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/sierpien/zadanie-18

## Treść

Trzywyrazowy ciąg $(\sqrt{5},\ 1,\ x)$ jest arytmetyczny.
Trzywyrazowy ciąg $(\sqrt{5},\ 1,\ y)$ jest geometryczny.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczby $x$ oraz $y$ spełniają warunki

A. $x<0 \ \text{i} \ y<0 \qquad\qquad$ B. $x<0 \ \text{i} \ y>0 \qquad\qquad$ C. $x>0 \ \text{i} \ y<0 \qquad\qquad$ D. $x>0 \ \text{i} \ y>0$

## Odpowiedź

B. $x<0$ i $y>0$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Ciąg $(\sqrt5,1,x)$ jest arytmetyczny, więc środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną skrajnych wyrazów.

   $$\begin{aligned}&1 = \dfrac{\sqrt5 + x}{2}\\[8pt]&2\cdot 1 = \sqrt5 + x\\[8pt]&x = 2-\sqrt5\end{aligned}$$

2. Ponieważ $\sqrt5 \approx 2{,}24 > 2$, to $x<0$.

3. Ciąg $(\sqrt5,1,y)$ jest geometryczny, więc iloraz kolejnych wyrazów jest stały.

   $$\begin{aligned}&\dfrac{1}{\sqrt5} = \dfrac{y}{1}\\[8pt]&y = \dfrac{1}{\sqrt5} = \dfrac{\sqrt5}{5}\end{aligned}$$

4. Ponieważ $\sqrt5>0$, to $y>0$. Zatem $x<0$ i $y>0$.