# Zadanie 17, matura podstawowa sierpień 2025

- Arkusz: [Matura podstawowa sierpień 2025](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/sierpien)
- Dział: Ciągi
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/sierpien/zadanie-17

## Treść

Ciąg geometryczny $(a_n)$, o wszystkich wyrazach rzeczywistych różnych od $0$, jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$.
Wyrazy tego ciągu spełniają warunek $a_3 = -8\cdot a_6$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Iloraz ciągu $(a_n)$ jest równy

A. $(-2) \qquad\qquad$ B. $\left(-\dfrac{1}{2}\right) \qquad\qquad$ C. $\dfrac{1}{2} \qquad\qquad$ D. $2$

## Odpowiedź

B. $\left(-\dfrac{1}{2}\right)$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Wyraz $a_6$ zapisujemy przy użyciu $a_3$ i ilorazu $q$. Od $a_3$ do $a_6$ są trzy kroki, więc mnożymy przez $q$ trzy razy.

   $$a_6 = a_3\cdot q^3$$

2. Podstawiamy do warunku $a_3=-8\cdot a_6$ i dzielimy obie strony przez $a_3$, bo $a_3\neq 0$.

   $$\begin{aligned}&a_3 = -8\cdot a_3\cdot q^3\\[8pt]&1 = -8q^3\\[8pt]&q^3 = -\dfrac{1}{8}\\[8pt]&q=\sqrt[3]{-\dfrac{1}{8}}=-\dfrac{1}{2}\end{aligned}$$