# Zadanie 12.2, matura podstawowa sierpień 2025

- Arkusz: [Matura podstawowa sierpień 2025](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/sierpien)
- Dział: Funkcje
- Rodzaj: otwarte, 2 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/sierpien/zadanie-12-2

## Treść

Funkcja $f$ jest określona następująco:

$f(x) = \begin{cases} -2x-10 & \text{dla } x \in (-5,-3] \\ x-1 & \text{dla } x \in (-3,4] \end{cases}$

Wykres funkcji $y=f(x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ na rysunku poniżej.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/sierpien/zadanie-12-2)*

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział ___.
2. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $f(x) < -2$ jest przedział ___.

## Odpowiedź

1. $[-4,3]$; 2. $(-4,-1)$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Odczytujemy z wykresu najniższy i najwyższy punkt. Oba są zamalowane, więc funkcja przyjmuje te wartości.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/sierpien/zadanie-12-2)*

   $$\begin{aligned}&f(-3) = -2\cdot(-3)-10 = -4 \\[8pt] &f(4) = 4-1 = 3 \\[8pt] &ZW_f = [-4,3]\end{aligned}$$

2. Rysujemy prostą $y=-2$ i szukamy punktów, w których przecina wykres. Na pierwszym kawałku wzoru:

   $$-2x-10=-2 \implies x=-4$$

3. Na drugim kawałku wzoru:

   $$x-1=-2 \implies x=-1$$

4. Nierówność $f(x)<-2$ spełniają argumenty, dla których wykres leży poniżej prostej $y=-2$. Z rysunku odczytujemy, że to część wykresu między $x=-4$ a $x=-1$. Końce nie należą do rozwiązania, bo w nich $f(x)=-2$.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/sierpien/zadanie-12-2)*

   $$x\in(-4,-1)$$