# Zadanie 23, matura podstawowa sierpień 2025 (F. 2015)

- Arkusz: [Matura podstawowa sierpień 2025 (F. 2015)](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/sierpien-formula-2015)
- Dział: Geometria przestrzenna
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/sierpien-formula-2015/zadanie-23

## Treść

Każda ściana boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest trójkątem równobocznym o boku długości $8$.
Wysokość tego ostrosłupa jest równa

A. $4 \qquad\qquad$ B. $4\sqrt{2} \qquad\qquad$ C. $4\sqrt{3} \qquad\qquad$ D. $6$

## Odpowiedź

B. $4\sqrt{2}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Ściany boczne są trójkątami równobocznymi o boku $8$, więc wszystkie krawędzie ostrosłupa mają długość $8$.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/sierpien-formula-2015/zadanie-23)*

2. Spodek wysokości ostrosłupa prawidłowego leży w środku kwadratu, czyli w połowie jego przekątnej. Liczymy przekątną kwadratu o boku $a=8$ i jej połowę.

   $$\begin{aligned}&d = a\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \\[8pt] &\dfrac{1}{2}d = \dfrac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\end{aligned}$$

3. Wysokość ostrosłupa, połowa przekątnej podstawy i krawędź boczna tworzą trójkąt prostokątny, więc $h$ wyznaczamy z twierdzenia Pitagorasa.

   $$\begin{aligned}&h^2 + (4\sqrt{2})^2 = 8^2 \\[8pt] &h^2 + 32 = 64 \\[8pt] &h^2 = 32 \\[8pt] &h = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\end{aligned}$$