# Zadanie 20, matura podstawowa sierpień 2025 (F. 2015)

- Arkusz: [Matura podstawowa sierpień 2025 (F. 2015)](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/sierpien-formula-2015)
- Dział: Planimetria
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/sierpien-formula-2015/zadanie-20

## Treść

Informacja do zadań 19.–20.
Dany jest trapez $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ takich, że $|AB| = 2 \cdot |CD|$. Przekątne $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $E$ (zobacz rysunek). Pole trójkąta $CDE$ jest równe $2$, a pole trójkąta $BCE$ jest równe $4$.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/sierpien-formula-2015/zadanie-20)*

Pole trójkąta $ABE$ jest równe

A. $4 \qquad\qquad$ B. $6 \qquad\qquad$ C. $8 \qquad\qquad$ D. $10$

## Odpowiedź

C. $8$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Kąty przy $E$ są wierzchołkowe, a kąty $BAE$ i $DCE$ są naprzemianległe przy równoległych podstawach, więc trójkąty $ABE$ i $CDE$ są podobne w skali $|AB|:|CD|=2$. Przekątne dzielą się więc w punkcie $E$ w stosunku $2:1$.
<div style="display: flex; justify-content: center; align-items: flex-end; gap: 16px; flex-wrap: wrap;">

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/sierpien-formula-2015/zadanie-20)*

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/sierpien-formula-2015/zadanie-20)*

</div>

   $$|AE|:|EC| = |BE|:|ED| = |AB|:|CD| = 2:1$$

2. Trójkąty $ABE$ i $CBE$ mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka $B$ na prostą $AC$, więc ich pola mają się do siebie tak jak podstawy $AE$ i $EC$.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/sierpien-formula-2015/zadanie-20)*

   $$\dfrac{P_{ABE}}{P_{CBE}} = \dfrac{|AE|}{|EC|} = 2$$

3. Wstawiamy pole trójkąta $BCE$ z treści zadania.

   $$P_{ABE} = 2 \cdot P_{CBE} = 2 \cdot 4 = 8$$