# Zadanie 31, matura podstawowa maj 2025

- Arkusz: [Matura podstawowa maj 2025](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/maj)
- Dział: Funkcja kwadratowa
- Rodzaj: otwarte, 4 pkt, trudność 4/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/maj/zadanie-31

## Treść

Rozważamy wszystkie prostopadłościany $ABCDEFGH$, w których krawędź $BC$ ma długość $4$ oraz suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka $B$ jest równa $15$ (zobacz rysunek).

Niech $P(x)$ oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości $x$ krawędzi $AB$.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/maj/zadanie-31)*

Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji $P$. Oblicz długość $x$ krawędzi $AB$ tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe. Zapisz obliczenia.

## Odpowiedź

$P(x) = -2x^2 + 22x + 88$, $D = (0, 11)$, $x = \dfrac{11}{2}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku: $|AB| = x$, $|BC| = 4$, a krawędź $BF$ oznaczamy $|BF|$. Suma długości trzech krawędzi wychodzących z wierzchołka $B$ (czyli $BA$, $BC$, $BF$) jest równa $15$:

   $$|AB| + |BC| + |BF| = 15 \implies x + 4 + |BF| = 15 \implies |BF| = 11 - x$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium