# Zadanie 21, matura podstawowa maj 2025

- Arkusz: [Matura podstawowa maj 2025](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/maj)
- Dział: Planimetria
- Rodzaj: prawda/fałsz, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/maj/zadanie-21

## Treść

Dany jest trójkąt $ABC$, w którym $|AB| = 11$, $|BC| = 12$ oraz $|\angle ABC| = 60°$ (zobacz rysunek).

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/maj/zadanie-21)*

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
<table style="width: 100%; border-collapse: collapse; font-size: 15px; font-family: sans-serif;">
  <tbody>
    <tr style="border-bottom: 1.5px solid #000;">
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">Trójkąt $ABC$ jest równoramienny.</td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>P</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>F</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">Pole trójkąta $ABC$ jest równe $33\sqrt{3}$.</td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>P</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>F</b></td>
    </tr>
  </tbody>
</table>

## Odpowiedź

FP

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Obliczamy długość boku $AC$ z twierdzenia cosinusów:

   $$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos 60° = 11^2 + 12^2 - 2 \cdot 11 \cdot 12 \cdot \dfrac{1}{2} = 133$$

2. Stąd $AC = \sqrt{133} \approx 11{,}5$. Żadne dwa boki trójkąta nie są sobie równe ($11$, $12$, $\sqrt{133}$), więc trójkąt $ABC$ nie jest równoramienny — pierwsze stwierdzenie jest fałszywe (F).

3. Obliczamy pole trójkąta ze wzoru $P = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin \angle ABC$:

   $$P = \dfrac{1}{2} \cdot 11 \cdot 12 \cdot \sin 60° = 66 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 33\sqrt{3}$$

4. Pole rzeczywiście jest równe $33\sqrt{3}$, więc drugie stwierdzenie jest prawdziwe (P). Odpowiedź: FP.