# Zadanie 20, matura podstawowa maj 2025

- Arkusz: [Matura podstawowa maj 2025](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/maj)
- Dział: Planimetria
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/maj/zadanie-20

## Treść

W trójkącie równoramiennym $ABC$ dane są: $|AC| = |BC| = 4$ i $|AB| = 3$.
Na boku $BC$, między punktami $B$ i $C$, wybrano taki punkt $D$, że trójkąty $ABC$ i $BDA$ są podobne (zobacz rysunek).

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/maj/zadanie-20)*

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odcinek $BD$ ma długość

A. $2 \qquad\qquad$ B. $2{,}25 \qquad\qquad$ C. $2{,}5 \qquad\qquad$ D. $3$

## Odpowiedź

B. $2{,}25$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Trójkąty $ABC$ i $BDA$ są podobne, z odpowiedniością wierzchołków $A \leftrightarrow B$, $B \leftrightarrow D$, $C \leftrightarrow A$ (wynika ona z kolejności liter w nazwach trójkątów), więc odpowiednie boki są proporcjonalne:

   $$\dfrac{AB}{BD} = \dfrac{BC}{DA} = \dfrac{CA}{AB}$$

2. Korzystamy z proporcji łączącej boki $AB$, $BD$ oraz $CA$, $AB$, podstawiając długości boków trójkąta $ABC$:

   $$\dfrac{AB}{BD} = \dfrac{CA}{AB} \implies \dfrac{3}{BD} = \dfrac{4}{3}$$

3. Wyznaczamy $BD$:

   $$BD = \dfrac{3 \cdot 3}{4} = \dfrac{9}{4} = 2{,}25$$