# Zadanie 18.2, matura podstawowa maj 2025

- Arkusz: [Matura podstawowa maj 2025](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/maj)
- Dział: Trygonometria
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/maj/zadanie-18-2

## Treść

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym bok $BC$ jest przeciwprostokątną, przyprostokątna $AB$ ma długość $6$, a środkowa $CD$ ma długość $5$.
Oznaczmy kąt $ADC$ przez $\alpha$, natomiast kąt $ABC$ – przez $\beta$ (zobacz rysunek).

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/maj/zadanie-18-2)*

Sinus kąta $\beta$ jest równy

A. $\dfrac{2}{\sqrt{13}}\qquad\qquad$ B. $\dfrac{3}{\sqrt{13}}\qquad\qquad$ C. $\dfrac{5}{2\sqrt{13}}\qquad\qquad$ D. $\dfrac{4}{5}$

## Odpowiedź

A. $\dfrac{2}{\sqrt{13}}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Podobnie jak poprzednio, $D$ jest środkiem boku $AB$ (bo $CD$ to środkowa z wierzchołka $C$), więc $AD = 3$. Kąt przy wierzchołku $A$ jest prosty, więc z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $ACD$ wyznaczamy $AC$:

   $$AC = \sqrt{CD^2 - AD^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$$

2. Obliczamy długość przeciwprostokątnej $BC$ z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $ABC$:

   $$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$$

3. Sinus kąta $\beta$ (przy wierzchołku $B$) to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta ($AC$) do przeciwprostokątnej:

   $$\sin\beta = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{4}{2\sqrt{13}} = \dfrac{2}{\sqrt{13}}$$