# Zadanie 18.1, matura podstawowa maj 2025

- Arkusz: [Matura podstawowa maj 2025](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/maj)
- Dział: Trygonometria
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/maj/zadanie-18-1

## Treść

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym bok $BC$ jest przeciwprostokątną, przyprostokątna $AB$ ma długość $6$, a środkowa $CD$ ma długość $5$.
Oznaczmy kąt $ADC$ przez $\alpha$, natomiast kąt $ABC$ – przez $\beta$ (zobacz rysunek).

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/maj/zadanie-18-1)*

Tangens kąta $\alpha$ jest równy

A. $\dfrac{2}{3}\qquad\qquad$ B. $\dfrac{3}{4}\qquad\qquad$ C. $\dfrac{4}{5}\qquad\qquad$ D. $\dfrac{4}{3}$

## Odpowiedź

D. $\dfrac{4}{3}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Odcinek $CD$ jest środkową poprowadzoną z wierzchołka $C$, więc punkt $D$ jest środkiem boku $AB$, skąd $AD = DB = 3$.

2. Kąt przy wierzchołku $A$ w trójkącie $ABC$ jest prosty (bo $BC$ jest przeciwprostokątną), więc kąt przy $A$ jest prosty również w trójkącie $ACD$. Z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy długość $AC$:

   $$AC = \sqrt{CD^2 - AD^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4$$

3. Tangens kąta $\alpha$ (przy wierzchołku $D$ w trójkącie $ACD$) to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przyprostokątnej przy kącie:

   $$\tg\alpha = \dfrac{AC}{AD} = \dfrac{4}{3}$$