# Zadanie 17, matura podstawowa maj 2025

- Arkusz: [Matura podstawowa maj 2025](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/maj)
- Dział: Trygonometria
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/maj/zadanie-17

## Treść

Kąt $\alpha$ jest ostry i spełnia warunek $\sqrt{3}\, \tg\alpha = 2\sin\alpha$.

Cosinus kąta $\alpha$ jest równy

A. $\dfrac{1}{2}\qquad\qquad$ B. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}\qquad\qquad$ C. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}\qquad\qquad$ D. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

## Odpowiedź

C. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Zapisujemy $\tg\alpha$ jako $\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ i podstawiamy do równania:

   $$\sqrt{3} \cdot \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 2\sin\alpha$$

2. Kąt $\alpha$ jest ostry, więc $\sin\alpha \neq 0$ – możemy podzielić obie strony przez $\sin\alpha$, a następnie wyznaczyć $\cos\alpha$:

   $$\dfrac{\sqrt{3}}{\cos\alpha} = 2 \implies \cos\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$$