# Zadanie 14.2, matura podstawowa maj 2025

- Arkusz: [Matura podstawowa maj 2025](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/maj)
- Dział: Ciągi
- Rodzaj: prawda/fałsz, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/maj/zadanie-14-2

## Treść

Ciąg $(a_n)$ jest określony następująco:

$\begin{cases} a_1=2\\ a_{n+1}=2a_n+1 \end{cases}$ dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

<table style="width: 100%; border-collapse: collapse; font-size: 15px; font-family: sans-serif;">
  <tbody>
    <tr style="border-bottom: 1.5px solid #000;">
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">Ciąg $(a_n)$ jest arytmetyczny.</td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>P</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>F</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">Ciąg $(a_n)$ jest geometryczny.</td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>P</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>F</b></td>
    </tr>
  </tbody>
</table>

## Odpowiedź

FF

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Obliczamy pierwsze trzy wyrazy ciągu:

   $$a_1 = 2, \quad a_2 = 5, \quad a_3 = 11$$

2. Sprawdzamy różnice kolejnych wyrazów:

   $$a_2 - a_1 = 3, \quad a_3 - a_2 = 6$$

3. Różnice nie są równe, więc ciąg NIE jest arytmetyczny (F).

4. Sprawdzamy ilorazy kolejnych wyrazów:

   $$\dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{5}{2}, \quad \dfrac{a_3}{a_2} = \dfrac{11}{5}$$

5. Ilorazy nie są równe, więc ciąg NIE jest geometryczny (F).