# Zadanie 11, matura podstawowa maj 2025

- Arkusz: [Matura podstawowa maj 2025](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/maj)
- Dział: Funkcje
- Rodzaj: otwarte, 4 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/maj/zadanie-11

## Treść

Funkcja $f$ jest określona następująco:

$f(x) = \begin{cases} x+5 & \text{dla } x\in[-4,-2] \\ 3 & \text{dla } x\in(-2,2] \\ -3x+9 & \text{dla } x\in(2,4) \end{cases}$

Wykres funkcji $y=f(x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ na rysunku poniżej.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/maj/zadanie-11)*

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Dziedziną funkcji $f$ jest przedział ___.
2. Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział ___.
3. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości dodatnie, jest przedział ___.
4. Zbiorem wszystkich rozwiązań równania $f(x)=3$ jest przedział ___.

## Odpowiedź

1. $[-4,4)$; 2. $(-3,3]$; 3. $[-4,3)$; 4. $[-2,2]$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Dziedziną funkcji jest suma przedziałów, na których jest ona określona:

   $$[-4,-2]\cup(-2,2]\cup(2,4) = [-4,4)$$

2. Odczytujemy wartości funkcji na poszczególnych kawałkach. Na pierwszym ($x+5$) wartości rosną od $f(-4)=1$ do $f(-2)=3$, na drugim funkcja jest stała i równa $3$, a na trzecim ($-3x+9$) wartości maleją od $3$ (wyłącznie) do $-3$ (wyłącznie). Łącząc te zbiory wartości, otrzymujemy przedział:

   $$(-3,3]$$

3. Funkcja przyjmuje wartości dodatnie tam, gdzie wykres leży powyżej osi $Ox$. Na pierwszym i drugim kawałku wartości są dodatnie na całej ich dziedzinie. Na trzecim kawałku rozwiązujemy nierówność:

   $$-3x+9>0 \implies x<3$$

4. Łącząc powyższe przedziały ($[-4,-2]$, $(-2,2]$ oraz $(2,3)$), otrzymujemy zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie:

   $$[-4,3)$$

5. Rozwiązujemy równanie $f(x)=3$ na każdym kawałku. Na pierwszym:

   $$x+5=3 \implies x=-2$$

6. Ten wynik należy do dziedziny pierwszego kawałka. Na drugim kawałku funkcja jest stale równa $3$ dla każdego $x\in(-2,2]$. Na trzecim:

   $$-3x+9=3 \implies x=2$$

7. Wartość $x=2$ nie należy do dziedziny trzeciego kawałka (jest już uwzględniona w drugim). Łącząc rozwiązania, otrzymujemy zbiór:

   $$[-2,2]$$