# Zadanie 15, matura podstawowa maj 2025 (F. 2015)

- Arkusz: [Matura podstawowa maj 2025 (F. 2015)](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/maj-formula-2015)
- Dział: Trygonometria
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/maj-formula-2015/zadanie-15

## Treść

Informacja do zadań 14.–15.
Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym bok $BC$ jest przeciwprostokątną, punkt $D$ jest środkiem przyprostokątnej $AB$ oraz $|AB| = 6$ i $|CD| = 5$. Oznaczmy kąt $ADC$ przez $\alpha$, natomiast kąt $ABC$ – przez $\beta$ (zobacz rysunek).

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/maj-formula-2015/zadanie-15)*

Sinus kąta $\beta$ jest równy

A. $\dfrac{2}{\sqrt{13}} \qquad\qquad$ B. $\dfrac{3}{\sqrt{13}} \qquad\qquad$ C. $\dfrac{5}{2\sqrt{13}} \qquad\qquad$ D. $\dfrac{4}{5}$

## Odpowiedź

A. $\dfrac{2}{\sqrt{13}}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Podobnie jak poprzednio, $D$ jest środkiem $AB$, więc $AD=3$, a z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $ACD$ obliczamy $AC$.

   $$AC = \sqrt{CD^2-AD^2} = \sqrt{5^2-3^2} = 4$$

2. Obliczamy długość przeciwprostokątnej $BC$ z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $ABC$.

   $$BC = \sqrt{AB^2+AC^2} = \sqrt{6^2+4^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$$

3. Sinus kąta $\beta$ (przy wierzchołku $B$) to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta ($AC$) do przeciwprostokątnej.

   $$\sin\beta = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{4}{2\sqrt{13}} = \dfrac{2}{\sqrt{13}}$$