# Zadanie 31, matura podstawowa czerwiec 2025

- Arkusz: [Matura podstawowa czerwiec 2025](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/czerwiec)
- Dział: Funkcja kwadratowa
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/czerwiec/zadanie-31

## Treść

Producent latarek przeanalizował wpływ zmiany ceny latarki L25 na liczbę kupujących ten produkt. Z analizy wynika, że roczny zysk $\mathcal{Z}$ ze sprzedaży latarek L25 wyraża się wzorem

$\mathcal{Z}(x) = (500 + 50x)(16 - x)$

gdzie:
$x$ – kwota obniżki ceny latarki L25 (wyrażona w pełnych złotych), spełniająca warunki $x \geq 1$ i $x \leq 14$,
$\mathcal{Z}$ – roczny zysk ze sprzedaży latarek L25 (wyrażony w złotych), liczony od momentu obniżenia ceny.

Roczny zysk $\mathcal{Z}$ ze sprzedaży latarek L25 będzie największy dla $x$ równego

A. $3 \qquad\qquad$ B. $4 \qquad\qquad$ C. $7 \qquad\qquad$ D. $14$

## Odpowiedź

A. $3$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Zapisujemy wzór funkcji $\mathcal{Z}$ w postaci ogólnej, mnożąc nawiasy:

   $$\mathcal{Z}(x) = (500+50x)(16-x) = 8000 - 500x + 800x - 50x^2 = -50x^2 + 300x + 8000$$

2. To funkcja kwadratowa o ujemnym współczynniku przy $x^2$, więc jej wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w dół — największą wartość przyjmuje w wierzchołku, dla $x = -\dfrac{b}{2a}$:

   $$x = -\dfrac{300}{2 \cdot (-50)} = \dfrac{300}{100} = 3$$

3. Liczba $x=3$ spełnia warunki $x \geq 1$ i $x \leq 14$, więc roczny zysk jest największy dla $x=3$.