# Zadanie 18, matura podstawowa czerwiec 2025

- Arkusz: [Matura podstawowa czerwiec 2025](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/czerwiec)
- Dział: Trygonometria
- Rodzaj: prawda/fałsz, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/czerwiec/zadanie-18

## Treść

Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych $\alpha$ oraz $\beta$ (zobacz rysunek). Sinus kąta $\alpha$ jest równy $\dfrac{4}{7}$.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/czerwiec/zadanie-18)*

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

<table style="width: 100%; border-collapse: collapse; font-size: 15px; font-family: sans-serif;">
  <tbody>
    <tr style="border-bottom: 1.5px solid #000;">
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">Cosinus kąta $\alpha$ jest równy $\dfrac{3}{7}$.</td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>P</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>F</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">Cosinus kąta $\beta$ jest równy $\dfrac{4}{7}$.</td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>P</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>F</b></td>
    </tr>
  </tbody>
</table>

## Odpowiedź

FP

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Z jedynki trygonometrycznej obliczamy $\cos\alpha$:

   $$\begin{aligned}&\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \dfrac{16}{49} = \dfrac{33}{49} \\[8pt] &\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{33}}{7}\end{aligned}$$

2. Ponieważ $\dfrac{\sqrt{33}}{7} \neq \dfrac{3}{7}$, pierwsze stwierdzenie jest fałszywe (F).

3. Kąty $\alpha$ i $\beta$ to kąty ostre tego samego trójkąta prostokątnego, więc $\alpha+\beta=90^\circ$, czyli $\beta=90^\circ-\alpha$. Stąd $\cos\beta=\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha=\dfrac{4}{7}$ — drugie stwierdzenie jest prawdziwe (P).