# Zadanie 14.2, matura podstawowa czerwiec 2025

- Arkusz: [Matura podstawowa czerwiec 2025](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/czerwiec)
- Dział: Ciągi
- Rodzaj: prawda/fałsz, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/czerwiec/zadanie-14-2

## Treść

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n = 3n^2 - 3n$ dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

<table style="width: 100%; border-collapse: collapse; font-size: 15px; font-family: sans-serif;">
  <tbody>
    <tr style="border-bottom: 1.5px solid #000;">
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">Ciąg $(a_n)$ jest arytmetyczny.</td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>P</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>F</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">Wszystkie wyrazy ciągu $(a_n)$ są liczbami parzystymi.</td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>P</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>F</b></td>
    </tr>
  </tbody>
</table>

## Odpowiedź

FP

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Obliczamy różnice kolejnych wyrazów: $a_1=0$, $a_2=6$, $a_3=18$, więc $a_2-a_1=6$, a $a_3-a_2=12$. Różnice nie są sobie równe, zatem ciąg $(a_n)$ NIE jest arytmetyczny — stwierdzenie pierwsze jest fałszywe (F).

2. Zapisujemy wzór ciągu w postaci iloczynowej:

   $$a_n = 3n^2 - 3n = 3n(n-1)$$

3. Liczby $n$ i $n-1$ to dwie kolejne liczby całkowite, więc jedna z nich zawsze jest parzysta, a ich iloczyn $n(n-1)$ jest parzysty. Zatem $3n(n-1)$ też jest parzyste — wszystkie wyrazy ciągu są parzyste, stwierdzenie drugie jest prawdziwe (P).