# Zadanie 10, matura podstawowa czerwiec 2025

- Arkusz: [Matura podstawowa czerwiec 2025](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/czerwiec)
- Dział: Funkcje
- Rodzaj: otwarte, 4 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/czerwiec/zadanie-10

## Treść

Funkcja $f$ jest określona następująco:

$f(x) = \begin{cases} -x - 2 & \text{dla } x \in (-5, -2] \\ 0 & \text{dla } x \in (-2, 1] \\ x & \text{dla } x \in (1, 3] \end{cases}$

Wykres funkcji $y = f(x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ na rysunku poniżej.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/czerwiec/zadanie-10)*

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

1. Dziedziną funkcji $f$ jest przedział ___.
2. Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział ___.
3. Zbiorem wszystkich miejsc zerowych funkcji $f$ jest przedział ___.
4. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $f(x) < f(-3)$ jest przedział ___.

## Odpowiedź

1. $(-5, 3]$; 2. $[0, 3]$; 3. $[-2, 1]$; 4. $(-3, 1]$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Dziedziną funkcji jest suma dziedzin poszczególnych gałęzi:

   $$(-5,-2] \cup (-2,1] \cup (1,3] = (-5,3]$$

2. Wyznaczamy zbiór wartości na każdej gałęzi. Na $(-5,-2]$ funkcja $-x-2$ maleje od nieosiąganej wartości $3$ (przy $x\to -5^+$) do wartości $0$ przy $x=-2$, czyli przyjmuje wartości $[0,3)$. Na $(-2,1]$ funkcja jest stale równa $0$. Na $(1,3]$ funkcja $x$ przyjmuje wartości $(1,3]$. Suma tych zbiorów daje cały przedział:

   $$[0,3) \cup \{0\} \cup (1,3] = [0,3]$$

3. Wyznaczamy miejsca zerowe. Na $(-5,-2]$ równanie $-x-2=0$ daje $x=-2$. Na $(-2,1]$ funkcja jest tożsamościowo równa zeru, więc cały ten przedział to miejsca zerowe. Na $(1,3]$ równanie $x=0$ nie ma rozwiązania w tym przedziale. Łącząc:

   $$\{-2\} \cup (-2,1] = [-2,1]$$

4. Obliczamy $f(-3)$ (argument $-3$ należy do pierwszej gałęzi):

   $$f(-3) = -(-3) - 2 = 1$$

5. Rozwiązujemy nierówność $f(x) < 1$ na każdej gałęzi. Na $(-5,-2]$: $-x-2<1 \Rightarrow x>-3$, po przecięciu z dziedziną gałęzi daje $(-3,-2]$. Na $(-2,1]$: nierówność $0<1$ jest zawsze prawdziwa, więc cały przedział $(-2,1]$ spełnia warunek. Na $(1,3]$: $x<1$ nie ma rozwiązań w tym przedziale. Suma rozwiązań:

   $$(-3,-2] \cup (-2,1] = (-3,1]$$