# Zadanie 5, matura podstawowa czerwiec 2025

- Arkusz: [Matura podstawowa czerwiec 2025](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/czerwiec)
- Dział: Dowody podzielności
- Rodzaj: otwarte, 3 pkt, trudność 3/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2025/czerwiec/zadanie-05

## Treść

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $a$, która przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $1$, i dla każdej liczby całkowitej $b$, która przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $4$, liczba $a^2 - b^2$ jest podzielna przez $5$.

## Odpowiedź

$a^2 - b^2 = 5 \cdot (5k^2 + 2k - 5l^2 - 8l - 3)$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Ponieważ liczba całkowita $a$ przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $1$, a liczba całkowita $b$ przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $4$, zapisujemy:

   $$a = 5k + 1, \; k \in \mathbb{Z} \qquad \text{oraz} \qquad b = 5l + 4, \; l \in \mathbb{Z}$$

Pełne rozwiązanie wymaga konta Premium: https://www.matemator.pl/premium