# Zadanie 23, matura podstawowa sierpień 2024

- Arkusz: [Matura podstawowa sierpień 2024](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/sierpien)
- Dział: Geometria analityczna
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 1/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/sierpien/zadanie-23

## Treść

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ odcinek o końcach $A = (-4, 7)$ oraz $B = (6, -1)$ jest średnicą okręgu $\mathcal{O}$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okrąg $\mathcal{O}$ jest określony równaniem

A. $(x-1)^2+(y-3)^2=41 \qquad\qquad$ B. $(x-5)^2+(y+4)^2=41 \qquad\qquad$ C. $(x-1)^2+(y+3)^2=41 \qquad\qquad$ D. $(x-5)^2+(y-4)^2=41$

## Odpowiedź

A. $(x-1)^2+(y-3)^2=41$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Środek okręgu to środek średnicy $AB$.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/sierpien/zadanie-23)*

   $$\begin{aligned}&S=\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}, \dfrac{y_A+y_B}{2}\right) \\[8pt]&S=\left(\dfrac{-4+6}{2}, \dfrac{7+(-1)}{2}\right)=(1,3)\end{aligned}$$

2. Promień to połowa średnicy, więc kwadrat promienia to ćwierć kwadratu długości $AB$.

   $$\begin{aligned}&|AB|^2 = (x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2 \\[8pt]&|AB|^2 = (6-(-4))^2+(-1-7)^2 = 10^2+(-8)^2=100+64=164 \\[8pt]&r^2 = \dfrac{164}{4}=41\end{aligned}$$

3. Wstawiamy środek i kwadrat promienia do równania okręgu.

   $$\begin{aligned}&(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \\[8pt]&(x-1)^2+(y-3)^2=41\end{aligned}$$