# Zadanie 20, matura podstawowa sierpień 2024

- Arkusz: [Matura podstawowa sierpień 2024](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/sierpien)
- Dział: Planimetria
- Rodzaj: otwarte, 2 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/sierpien/zadanie-20

## Treść

Podstawy trapezu prostokątnego $ABCD$ mają długości: $|AB| = 12$ oraz $|CD| = 6$. Wysokość $AD$ tego trapezu ma długość $24$. Na odcinku $AD$ leży punkt $E$ taki, że $|\angle BEA| = |\angle CED|$ (zobacz rysunek).

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/sierpien/zadanie-20)*

Oblicz długość odcinka $\boldsymbol{BE}$. Zapisz obliczenia.

## Odpowiedź

$|BE| = 20$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Trójkąty $ABE$ i $DCE$ mają kąty proste przy $A$ i $D$ oraz równe kąty przy $E$, więc są podobne (cecha kąt-kąt-kąt). Skala podobieństwa to stosunek odpowiadających sobie przyprostokątnych.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/sierpien/zadanie-20)*

   $$k = \dfrac{|AB|}{|DC|} = \dfrac{12}{6} = 2$$

2. Wszystkie boki trójkąta $ABE$ są dwa razy dłuższe od odpowiednich boków trójkąta $DCE$, więc $|AE| = 2|DE|$. Odcinki $AE$ i $DE$ tworzą razem wysokość $AD$.

   $$\begin{aligned}&|AE|+|DE|=24 \\[8pt]&2|DE|+|DE|=24 \\[8pt]&3|DE|=24 \\[8pt]&|DE|=8 \\[8pt]&|AE| = 2|DE| = 2 \cdot 8 = 16\end{aligned}$$

3. Trójkąt $ABE$ ma kąt prosty przy $A$, więc $|BE|$ liczymy z twierdzenia Pitagorasa.

   $$\begin{aligned}&|BE|^2 = |AB|^2+|AE|^2 \\[8pt] &|BE|^2=12^2+16^2=144+256=400 \\[8pt] &|BE|=20\end{aligned}$$