# Zadanie 17, matura podstawowa sierpień 2024

- Arkusz: [Matura podstawowa sierpień 2024](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/sierpien)
- Dział: Trygonometria
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/sierpien/zadanie-17

## Treść

W trójkącie prostokątnym $ABC$ sinus kąta $CAB$ jest równy $\dfrac{3}{5}$, a przeciwprostokątna $AB$ jest o $8$ dłuższa od przyprostokątnej $BC$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość przeciwprostokątnej $AB$ tego trójkąta jest równa

A. $18 \qquad\qquad$ B. $20 \qquad\qquad$ C. $24 \qquad\qquad$ D. $25$

## Odpowiedź

B. $20$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Sinus kąta $CAB$ to stosunek przyprostokątnej $BC$ leżącej naprzeciw tego kąta do przeciwprostokątnej $AB$. Jest równy $\dfrac{3}{5}$, więc oznaczamy $|BC| = 3k$ oraz $|AB| = 5k$, gdzie $k>0$.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/sierpien/zadanie-17)*

   $$\sin|\angle CAB| = \dfrac{|BC|}{|AB|} = \dfrac{3}{5}$$

2. Przeciwprostokątna jest o $8$ dłuższa od $BC$, więc układamy równanie i wyznaczamy $k$.

   $$\begin{aligned}&5k = 3k + 8 \\[8pt]&2k = 8 \\[8pt]&k = 4\end{aligned}$$

3. Wstawiamy $k=4$ do $|AB|=5k$.

   $$AB = 5k = 5 \cdot 4 = 20$$