# Zadanie 16, matura podstawowa sierpień 2024

- Arkusz: [Matura podstawowa sierpień 2024](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/sierpien)
- Dział: Trygonometria
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/sierpien/zadanie-16

## Treść

Kąt $\alpha$ jest ostry oraz $\cos \alpha = \dfrac{24}{25}$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta $\alpha$ jest równy

A. $\dfrac{7}{18} \qquad\qquad$ B. $\dfrac{7}{24} \qquad\qquad$ C. $\dfrac{7}{25} \qquad\qquad$ D. $\dfrac{18}{25}$

## Odpowiedź

B. $\dfrac{7}{24}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Sinus wyznaczamy z jedynki trygonometrycznej. Kąt jest ostry, więc sinus jest dodatni.

   $$\begin{aligned}&\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \\[8pt] &\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(\dfrac{24}{25}\right)^2 = 1 - \dfrac{576}{625} = \dfrac{49}{625} \\[8pt] &\sin\alpha = \sqrt{\dfrac{49}{625}} = \dfrac{7}{25}\end{aligned}$$

2. Tangens to iloraz sinusa i cosinusa.

   $$\begin{aligned}&\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \\[8pt] &\tan\alpha = \dfrac{\frac{7}{25}}{\frac{24}{25}} = \dfrac{7}{24}\end{aligned}$$