# Zadanie 20, matura podstawowa maj 2024

- Arkusz: [Matura podstawowa maj 2024](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/maj)
- Dział: Planimetria
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/maj/zadanie-20

## Treść

Dany jest trójkąt $KLM$, w którym $|KM| = a$, $|LM| = b$ oraz $a \neq b$. Dwusieczna kąta $KML$ przecina bok $KL$ w punkcie $N$ takim, że $|KN| = c$, $|NL| = d$ oraz $|MN| = e$ (zobacz rysunek).

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/maj/zadanie-20)*

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

W trójkącie $KLM$ prawdziwa jest równość

A. $a \cdot b = c \cdot d \qquad\qquad$ B. $a \cdot d = b \cdot c \qquad\qquad$ C. $a \cdot c = b \cdot d \qquad\qquad$ D. $a \cdot b = e \cdot e$

## Odpowiedź

B. $a \cdot d = b \cdot c$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Z twierdzenia o dwusiecznej kąta wiemy, że dwusieczna kąta $KML$ dzieli przeciwległy bok $KL$ na odcinki proporcjonalne do boków, między którymi ten kąt jest zawarty:

   $$\dfrac{|KN|}{|NL|} = \dfrac{|KM|}{|LM|}$$

2. Podstawiamy oznaczenia z treści zadania:

   $$\dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b}$$

3. Mnożymy obie strony na krzyż:

   $$a \cdot d = b \cdot c$$