# Zadanie 18, matura podstawowa maj 2024

- Arkusz: [Matura podstawowa maj 2024](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/maj)
- Dział: Trygonometria
- Rodzaj: zamknięte, 2 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/maj/zadanie-18

## Treść

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ zaznaczono kąt o mierze $\alpha$ taki, że $\text{tg}\,\alpha = -3$ oraz $90° < \alpha < 180°$ (zobacz rysunek).

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/maj/zadanie-18)*

Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.

Prawdziwe są zależności: ………… oraz ………… .

A. $\sin \alpha < 0$
B. $\sin \alpha \cdot \cos \alpha < 0$
C. $\sin \alpha \cdot \cos \alpha > 0$
D. $\cos \alpha > 0$
E. $\sin \alpha = -\dfrac{1}{3}\cos \alpha$
F. $\sin \alpha = -3\cos \alpha$

## Odpowiedź

BF

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Kąt $\alpha$ należy do drugiej ćwiartki układu współrzędnych ($90°<\alpha<180°$), więc $\sin\alpha>0$ oraz $\cos\alpha<0$.

2. Skoro sinus jest dodatni, a kosinus ujemny, ich iloczyn jest ujemny:

   $$\sin\alpha\cdot\cos\alpha<0$$

3. To odpowiada zależności B, jednocześnie wykluczając A ($\sin\alpha<0$ jest fałszywe), C i D.

4. Z definicji tangensa mamy $\text{tg}\,\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-3$, co po przekształceniu daje:

   $$\sin\alpha=-3\cos\alpha$$

5. To odpowiada zależności F (zależność E odpowiadałaby $\text{tg}\,\alpha=-\dfrac{1}{3}$, co jest niezgodne z treścią zadania).