# Zadanie 15, matura podstawowa maj 2024

- Arkusz: [Matura podstawowa maj 2024](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/maj)
- Dział: Ciągi
- Rodzaj: prawda/fałsz, 1 pkt, trudność 1/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/maj/zadanie-15

## Treść

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n = (-1)^n \cdot (n-5)$ dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
<table style="width: 100%; border-collapse: collapse; font-size: 15px; font-family: sans-serif;">
  <tbody>
    <tr style="border-bottom: 1.5px solid #000;">
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">Pierwszy wyraz ciągu $(a_n)$ jest dwa razy większy od trzeciego wyrazu tego ciągu.</td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>P</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>F</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">Wszystkie wyrazy ciągu $(a_n)$ są dodatnie.</td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>P</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>F</b></td>
    </tr>
  </tbody>
</table>

## Odpowiedź

PF

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Obliczamy pierwszy i trzeci wyraz ciągu:

   $$a_1=(-1)^1\cdot(1-5)=4, \qquad a_3=(-1)^3\cdot(3-5)=2$$

2. Wyraz $a_1=4$ jest rzeczywiście dwa razy większy od wyrazu $a_3=2$, więc pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe (P).

3. Obliczamy drugi wyraz ciągu:

   $$a_2=(-1)^2\cdot(2-5)=-3$$

4. Ponieważ $a_2=-3<0$, nie wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie – drugie stwierdzenie jest fałszywe (F).
 Dodatkowo wyrażenie $(-1)^n$ jest zawsze ujemne dla nieparzystych $n$ i dodatnie dla parzystych, więc od pewnego momentu ten ciąg będzie zmieniał znak z plusa na minus co wyraz.