# Zadanie 26, matura podstawowa grudzień 2024

- Arkusz: [Matura podstawowa grudzień 2024](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/grudzien)
- Dział: Geometria przestrzenna
- Rodzaj: otwarte, 2 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/grudzien/zadanie-26

## Treść

Objętość stożka o wysokości $2$ jest równa $8\pi$.

Oblicz miarę kąta rozwarcia tego stożka. Zapisz obliczenia.

## Odpowiedź

$120°$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Wstawiamy dane do wzoru na objętość stożka. Mnożymy obie strony przez $3$, a potem dzielimy przez $2\pi$.

   $$\begin{aligned}&V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 H \\[8pt] &8\pi = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 2 \;\;/\cdot 3 \\[8pt] &24\pi = 2\pi r^2 \;\;/:2\pi \\[8pt] &r^2 = 12 \\[8pt] &r = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\end{aligned}$$

2. Oznaczamy przez $\alpha$ połowę kąta rozwarcia. Liczymy jej tangens w trójkącie prostokątnym z przekroju osiowego.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/grudzien/zadanie-26)*

   $$\text{tg}\,\alpha = \dfrac{r}{H} = \dfrac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$$

3. Odczytujemy kąt z tablic. Kąt rozwarcia to $2\alpha$.

   $$\begin{aligned}&\text{tg}\,60° = \sqrt{3} \\[8pt] &\alpha = 60° \\[8pt] &2\alpha = 120°\end{aligned}$$