# Zadanie 25, matura podstawowa grudzień 2024

- Arkusz: [Matura podstawowa grudzień 2024](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/grudzien)
- Dział: Geometria przestrzenna
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/grudzien/zadanie-25

## Treść

Długości trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka prostopadłościanu są trzema kolejnymi parzystymi liczbami naturalnymi. Najdłuższa krawędź tego prostopadłościanu ma długość $p$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Objętość tego prostopadłościanu jest równa

A. $p^3 - 3p^2 + 2p \qquad\qquad$ B. $p^3 + 3p^2 + 2p \qquad\qquad$ C. $p^3 - 6p^2 - 8p \qquad\qquad$ D. $p^3 - 6p^2 + 8p$

## Odpowiedź

D. $p^3 - 6p^2 + 8p$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Kolejne liczby parzyste różnią się o $2$, a najdłuższa krawędź ma długość $p$.

   $$p-4, \quad p-2, \quad p$$

2. Objętość prostopadłościanu to iloczyn długości trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka. Wymnażamy nawiasy.

   $$\begin{aligned}&V = p(p-2)(p-4) \\[8pt] &(p-2)(p-4) = p^2-6p+8 \\[8pt] &V = p\left(p^2-6p+8\right) = p^3-6p^2+8p\end{aligned}$$