# Zadanie 23, matura podstawowa grudzień 2024

- Arkusz: [Matura podstawowa grudzień 2024](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/grudzien)
- Dział: Geometria analityczna
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/grudzien/zadanie-23

## Treść

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dane są cztery okręgi: $o_1$, $o_2$, $o_3$, $o_4$, o równaniach:

$o_1\!: (x-1)^2+(y-2)^2=1$

$o_2\!: (x+1)^2+(y+2)^2=9$

$o_3\!: (x-3)^2+(y-4)^2=4$

$o_4\!: (x+3)^2+(y+4)^2=16$

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okręgiem, który <u>nie ma żadnego</u> punktu wspólnego z osiami układu współrzędnych $(x,y)$, jest

A. $o_1 \qquad\qquad$ B. $o_2 \qquad\qquad$ C. $o_3 \qquad\qquad$ D. $o_4$

## Odpowiedź

C. $o_3$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Okrąg ma punkt wspólny z osią, gdy jego środek jest odległy od niej o nie więcej niż promień. Odległość środka od osi $Ox$ to wartość bezwzględna drugiej współrzędnej, a od osi $Oy$ pierwszej.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/grudzien/zadanie-23)*

2. Okrąg $o_1$ ma środek $(1,2)$ i promień $1$. Środek jest odległy od osi $Oy$ o $1$, więc okrąg jest styczny do osi $Oy$.

3. Okrąg $o_2$ ma środek $(-1,-2)$ i promień $3$. Środek jest odległy od osi $Ox$ o $2$, czyli mniej niż promień, więc okrąg przecina oś $Ox$.

4. Okrąg $o_3$ ma środek $(3,4)$ i promień $2$. Środek jest odległy od osi $Ox$ o $4$, a od osi $Oy$ o $3$. Obie odległości są większe od promienia, więc okrąg nie ma punktów wspólnych z osiami.

5. Okrąg $o_4$ ma środek $(-3,-4)$ i promień $4$. Środek jest odległy od osi $Ox$ o $4$, więc okrąg jest styczny do osi $Ox$. Szukanym okręgiem jest więc $o_3$.