# Zadanie 18, matura podstawowa grudzień 2024

- Arkusz: [Matura podstawowa grudzień 2024](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/grudzien)
- Dział: Trygonometria
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/grudzien/zadanie-18

## Treść

Kąt o mierze $\alpha$ jest rozwarty oraz $\sin \alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{4}$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Cosinus kąta o mierze $\alpha$ jest równy

A. $\left(-\dfrac{\sqrt{13}}{4}\right) \qquad\qquad$ B. $\left(-\dfrac{1}{2}\right) \qquad\qquad$ C. $\dfrac{1}{2} \qquad\qquad$ D. $\dfrac{\sqrt{13}}{4}$

## Odpowiedź

A. $\left(-\dfrac{\sqrt{13}}{4}\right)$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Z jedynki trygonometrycznej wyznaczamy $\cos^2\alpha$, przenosząc $\sin^2\alpha$ na drugą stronę.

   $$\begin{aligned}&\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 \\[8pt] &\cos^2\alpha = 1-\sin^2\alpha\end{aligned}$$

2. Podstawiamy $\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{4}$.

   $$\cos^2\alpha = 1-\left(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)^2 = 1-\dfrac{3}{16}=\dfrac{13}{16}$$

3. Cosinus kąta rozwartego jest ujemny, więc bierzemy pierwiastek ze znakiem minus.

   $$\cos\alpha = -\sqrt{\dfrac{13}{16}} = -\dfrac{\sqrt{13}}{4}$$