# Zadanie 17.2, matura podstawowa grudzień 2024

- Arkusz: [Matura podstawowa grudzień 2024](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/grudzien)
- Dział: Trygonometria
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/grudzien/zadanie-17-2

## Treść

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym $|AC|=\sqrt{15}$ i $|BC|=8$. Na przyprostokątnej $AB$ leży taki punkt $D$, że $|BD|=6$ (zobacz rysunek).

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/grudzien/zadanie-17-2)*

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta ostrego $ADC$ jest równy

A. $\sqrt{15} \qquad\qquad$ B. $\dfrac{1}{2} \qquad\qquad$ C. $\dfrac{7}{8} \qquad\qquad$ D. $\dfrac{\sqrt{15}}{8}$

## Odpowiedź

A. $\sqrt{15}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Liczymy przyprostokątną $AB$ z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $ABC$.

   $$\begin{aligned}&|AB|^2 + |AC|^2 = |BC|^2 \\[8pt] &|AB|^2 = 8^2 - \left(\sqrt{15}\right)^2 = 64-15=49 \\[8pt] &|AB|=7\end{aligned}$$

2. Punkt $D$ leży na odcinku $AB$.

   $$|AD| = |AB|-|BD| = 7-6=1$$

3. Trójkąt $ADC$ też ma kąt prosty przy wierzchołku $A$. Tangens to stosunek przyprostokątnej naprzeciw kąta do przyprostokątnej przy kącie.

   $$\tan(\angle ADC) = \dfrac{|AC|}{|AD|} = \dfrac{\sqrt{15}}{1} = \sqrt{15}$$