# Zadanie 16, matura podstawowa grudzień 2024

- Arkusz: [Matura podstawowa grudzień 2024](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/grudzien)
- Dział: Ciągi
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/grudzien/zadanie-16

## Treść

Dany jest ciąg geometryczny $(a_n)$ określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$, w którym $a_2 = \dfrac{1}{6}$ oraz $a_3 = \dfrac{1}{9}$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Piąty wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy

A. $\dfrac{1}{15} \qquad\qquad$ B. $\dfrac{2}{27} \qquad\qquad$ C. $\dfrac{4}{81} \qquad\qquad$ D. $\dfrac{8}{243}$

## Odpowiedź

C. $\dfrac{4}{81}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Iloraz ciągu geometrycznego liczymy, dzieląc wyraz przez poprzedni.

   $$q = \dfrac{a_3}{a_2} = \dfrac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{6}} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$$

2. Od $a_3$ do $a_5$ są dwa kroki, więc mnożymy $a_3$ przez $q^2$.

   $$a_5 = a_3 \cdot q^2 = \dfrac{1}{9}\cdot\left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}\cdot\dfrac{4}{9} = \dfrac{4}{81}$$