# Zadanie 14, matura podstawowa grudzień 2024

- Arkusz: [Matura podstawowa grudzień 2024](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/grudzien)
- Dział: Ciągi
- Rodzaj: prawda/fałsz, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/grudzien/zadanie-14

## Treść

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n = 3 \cdot (-1)^n + 10$ dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

<table style="width: 100%; border-collapse: collapse; font-size: 15px; font-family: sans-serif;">
  <tbody>
    <tr style="border-bottom: 1.5px solid #000;">
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">Ciąg $(a_n)$ jest geometryczny.</td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>P</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>F</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">Suma ośmiu początkowych kolejnych wyrazów ciągu $(a_n)$ jest równa $80$.</td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>P</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>F</b></td>
    </tr>
  </tbody>
</table>

## Odpowiedź

FP

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Liczymy trzy pierwsze wyrazy ciągu.

   $$\begin{aligned}&a_1 = 3\cdot(-1)+10 = 7 \\[8pt] &a_2 = 3\cdot 1+10 = 13 \\[8pt] &a_3 = 3\cdot(-1)+10 = 7\end{aligned}$$

2. Dzielimy każdy wyraz przez poprzedni. W ciągu geometrycznym zawsze wychodzi to samo.

   $$\dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{13}{7}, \quad \dfrac{a_3}{a_2} = \dfrac{7}{13}$$

3. Ilorazy są różne, więc ciąg nie jest geometryczny. Pierwsze stwierdzenie jest fałszywe (F).

4. Wyrazy o numerach nieparzystych są równe $7$, a o parzystych $13$. Wśród ośmiu początkowych wyrazów jest po cztery wyrazy każdego rodzaju.

   $$4\cdot 7 + 4\cdot 13 = 28+52 = 80$$

5. Drugie stwierdzenie jest więc prawdziwe (P).