# Zadanie 13, matura podstawowa grudzień 2024

- Arkusz: [Matura podstawowa grudzień 2024](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/grudzien)
- Dział: Logarytmy
- Rodzaj: prawda/fałsz, 1 pkt, trudność 1/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/grudzien/zadanie-13

## Treść

Funkcja logarytmiczna $f$ jest określona wzorem $f(x) = \log_{6} x$ dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $x$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

<table style="width: 100%; border-collapse: collapse; font-size: 15px; font-family: sans-serif;">
  <tbody>
    <tr style="border-bottom: 1.5px solid #000;">
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">Wartość funkcji $f$ dla argumentu $36$ jest równa $6$.</td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>P</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>F</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td style="padding: 6px 12px; border: 1.5px solid #000;">Funkcja $f$ jest rosnąca.</td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>P</b></td>
      <td style="padding: 6px 12px; text-align: center; border: 1.5px solid #000; font-weight: 500;"><b>F</b></td>
    </tr>
  </tbody>
</table>

## Odpowiedź

FP

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Zapisujemy $36$ jako potęgę liczby $6$.

   $$f(36) = \log_{6} 36 = \log_{6} 6^2 = 2$$

2. Wartość jest równa $2$, a nie $6$, więc pierwsze stwierdzenie jest fałszywe (F).

3. Podstawa logarytmu $6$ jest większa od $1$, więc kolejne potęgi $6$ rosną. Im większa liczba $x$, tym do wyższej potęgi trzeba podnieść $6$, żeby ją otrzymać.

   $$\log_6 6 = 1 \qquad \log_6 36 = 2 \qquad \log_6 216 = 3$$

4. Większemu $x$ odpowiada większa wartość, więc funkcja $f$ jest rosnąca. Drugie stwierdzenie jest prawdziwe (P).