# Zadanie 6, matura podstawowa grudzień 2024

- Arkusz: [Matura podstawowa grudzień 2024](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/grudzien)
- Dział: Wyrażenia algebraiczne
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/grudzien/zadanie-06

## Treść

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ różnej od $(-1)$, $0$ oraz $1$ wartość wyrażenia $\dfrac{x}{x^2-1} : \dfrac{3x^2}{x+1}$ jest równa wartości wyrażenia

A. $\dfrac{x}{x-1} \qquad\qquad$ B. $\dfrac{1}{3x^2-3x} \qquad\qquad$ C. $-3x \qquad\qquad$ D. $-\dfrac{1}{3x}$

## Odpowiedź

B. $\dfrac{1}{3x^2-3x}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Zamieniamy dzielenie na mnożenie przez odwrotność.

   $$\dfrac{x}{x^2-1} : \dfrac{3x^2}{x+1} = \dfrac{x}{x^2-1}\cdot\dfrac{x+1}{3x^2}$$

2. Mianownik $x^2-1$ rozkładamy ze wzoru na różnicę kwadratów.

   $$\begin{aligned}&a^2-b^2=(a-b)(a+b) \\[8pt] &\dfrac{x}{(x-1)(x+1)}\cdot\dfrac{x+1}{3x^2}\end{aligned}$$

3. Zapisujemy $3x^2$ jako $3x\cdot x$ i skracamy wspólne czynniki $(x+1)$ oraz $x$. Na koniec wymnażamy mianownik.

   $$\dfrac{\bcancel{x} \cdot \bcancel{(x+1)}}{(x-1)\cdot \bcancel{(x+1)} \cdot 3x\cdot \bcancel{x}} = \dfrac{1}{3x(x-1)} = \dfrac{1}{3x^2-3x}$$