# Zadanie 3, matura podstawowa grudzień 2024

- Arkusz: [Matura podstawowa grudzień 2024](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/grudzien)
- Dział: Dowody podzielności
- Rodzaj: otwarte, 2 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/grudzien/zadanie-03

## Treść

Wykaż, że liczba $2^{100} + 4^{49} + 16^{24}$ jest podzielna przez $21$.

## Odpowiedź

$2^{100}+4^{49}+16^{24} = 2^{96}\cdot 21$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Sprowadzamy składniki do podstawy $2$, bo $4=2^2$ i $16=2^4$. Potęgę potęgi zamieniamy na jedną potęgę, mnożąc wykładniki.

   $$2^{100} + 4^{49} + 16^{24} = 2^{100} + (2^2)^{49} + (2^4)^{24} = 2^{100} + 2^{98} + 2^{96}$$

2. Wyłączamy przed nawias najmniejszą potęgę $2^{96}$.

   $$2^{100} + 2^{98} + 2^{96} = 2^{96}\left(2^4 + 2^2 + 1\right) = 2^{96}(16+4+1) = 2^{96} \cdot 21$$

3. Liczba $2^{96}$ jest całkowita, więc liczba $2^{96}\cdot 21$, czyli $2^{100}+4^{49}+16^{24}$, jest podzielna przez $21$.