# Zadanie 27, matura podstawowa czerwiec 2024

- Arkusz: [Matura podstawowa czerwiec 2024](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/czerwiec)
- Dział: Geometria przestrzenna
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/czerwiec/zadanie-27

## Treść

Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości $4$. Przekątna tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $\alpha$ takim, że $\text{tg}\,\alpha=2$ (zobacz rysunek).

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/czerwiec/zadanie-27)*

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wysokość tego graniastosłupa jest równa

A. $2 \qquad\qquad$ B. $8 \qquad\qquad$ C. $8\sqrt{2} \qquad\qquad$ D. $16\sqrt{2}$

## Odpowiedź

C. $8\sqrt{2}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Liczymy przekątną podstawy, czyli kwadratu o boku $4$.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/czerwiec/zadanie-27)*

   $$\begin{aligned}&d=a\sqrt{2}\\[8pt]&d=4\sqrt{2}\end{aligned}$$

2. Kąt $\alpha$ leży w zaznaczonym trójkącie prostokątnym. Wysokość $h$ leży naprzeciw kąta, a przekątna podstawy $d$ przy nim, więc $h$ wyznaczamy z tangensa.

   $$\begin{aligned}&\text{tg}\,\alpha=\dfrac{h}{d}\\[8pt]&2=\dfrac{h}{4\sqrt{2}}\\[8pt]&h=2\cdot4\sqrt{2}=8\sqrt{2}\end{aligned}$$