# Zadanie 23.2, matura podstawowa czerwiec 2024

- Arkusz: [Matura podstawowa czerwiec 2024](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/czerwiec)
- Dział: Geometria analityczna
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/czerwiec/zadanie-23-2

## Treść

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dany jest okrąg $\mathcal{O}$ o równaniu

$(x-1)^2+(y+2)^2=5$

Okrąg $\mathcal{K}$ jest obrazem okręgu $\mathcal{O}$ w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okrąg $\mathcal{K}$ jest określony równaniem

A. $(x-1)^2+(y+2)^2=5 \qquad\qquad$ B. $(x+1)^2+(y+2)^2=5 \qquad\qquad$ C. $(x-1)^2+(y-2)^2=5 \qquad\qquad$ D. $(x+1)^2+(y-2)^2=5$

## Odpowiedź

D. $(x+1)^2+(y-2)^2=5$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Z równania okręgu $\mathcal{O}$ odczytujemy jego środek i promień.

   $$\begin{aligned}&(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \\[8pt] &S=(1,-2) \qquad r=\sqrt{5}\end{aligned}$$

2. W symetrii względem początku układu współrzędnych punkt $(x,y)$ przechodzi na punkt $(-x,-y)$, więc zmieniamy znaki obu współrzędnych środka.

   $$S'=(-1,2)$$

3. Promień w symetrii się nie zmienia, więc do równania okręgu wstawiamy nowy środek i ten sam promień.

   $$(x+1)^2+(y-2)^2=5$$