# Zadanie 14, matura podstawowa czerwiec 2024

- Arkusz: [Matura podstawowa czerwiec 2024](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/czerwiec)
- Dział: Funkcja kwadratowa
- Rodzaj: otwarte, 2 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/czerwiec/zadanie-14

## Treść

Parabola, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$, ma z osiami kartezjańskiego układu współrzędnych $(x,y)$ dokładnie dwa punkty wspólne: $M=(0,18)$ oraz $N=(3,0)$.

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej $f$. Zapisz obliczenia.

## Odpowiedź

$f(x) = 2(x-3)^2 = 2x^2-12x+18$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Gdyby parabola przecinała oś $Ox$ w dwóch punktach, miałaby z osiami trzy punkty wspólne. Dotyka więc osi $Ox$ tylko w punkcie $N$, czyli $N$ jest wierzchołkiem paraboli.

*(rysunek: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/czerwiec/zadanie-14)*

2. Zapisujemy wzór funkcji w postaci kanonicznej z wierzchołkiem w punkcie $N$.

   $$\begin{aligned}&f(x)=a(x-p)^2+q \qquad p=3,\ q=0 \\[8pt] &f(x) = a(x-3)^2, \quad a\neq 0\end{aligned}$$

3. Punkt $M$ leży na wykresie, więc $f(0)=18$. Podstawiamy i wyznaczamy $a$.

   $$\begin{aligned}&a(0-3)^2=18 \\[8pt] &9a=18 \\[8pt] &a=2\end{aligned}$$

4. Wstawiamy $a=2$ do wzoru. Postać ogólną dostajemy, podnosząc nawias do kwadratu.

   $$f(x) = 2(x-3)^2 = 2(x^2-6x+9) = 2x^2-12x+18$$