# Zadanie 8, matura podstawowa czerwiec 2024

- Arkusz: [Matura podstawowa czerwiec 2024](https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/czerwiec)
- Dział: Wyrażenia algebraiczne
- Rodzaj: zamknięte, 1 pkt, trudność 2/5
- Strona zadania: https://www.matemator.pl/matura/podstawowa/2024/czerwiec/zadanie-08

## Treść

Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ różnej od: $(-1)$, $0$ i $1$, wartość wyrażenia $\dfrac{2x^2}{x^2-1} \cdot \dfrac{x+1}{x}$ jest równa wartości wyrażenia

A. $2x+2 \qquad\qquad$ B. $\dfrac{2x}{x-1} \qquad\qquad$ C. $\dfrac{2x}{x^2-1} \qquad\qquad$ D. $\dfrac{2x^3+1}{x^3-1}$

## Odpowiedź

B. $\dfrac{2x}{x-1}$

## Rozwiązanie krok po kroku

1. Mnożymy ułamki.

   $$\dfrac{2x^2}{x^2-1} \cdot \dfrac{x+1}{x} = \dfrac{2x^2(x+1)}{(x^2-1)x}$$

2. Rozkładamy $x^2-1$ ze wzoru na różnicę kwadratów i skracamy $(x+1)$ oraz $x$. Wolno nam, bo z treści zadania $x\neq -1$ i $x\neq 0$.

   $$\begin{aligned}&x^2-1=(x-1)(x+1) \\[8pt] &\dfrac{2x\cdot\bcancel{x}\cdot\bcancel{(x+1)}}{(x-1)\bcancel{(x+1)}\bcancel{x}} = \dfrac{2x}{x-1}\end{aligned}$$